2022학년도 수능 수학 기하 28번 닮음 이용 간단 풀이

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-07-21 · 고3 수학

오늘은 2022학년도 수능 수학 기하 28번 문제를 간단한 닮음으로 풀어보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

2022학년도 수능 기하 28번

대부분의 교재 풀이들은 포물선 식을 이용한 대수적 방법을 사용하고 있는데, 자세히보면 포물선의 준선의 성질을 이용하고 간단하게 닮음으로 처리할 수 있습니다.

1. 문제를 자세히 읽기

문제를 읽으면서 주어진 정보를 정리해 보면, 아래와 같은 내용은 쉽게 파악이 됩니다.

(1) F₁ 의 좌표 : (p, a)

(2) 오른쪽 포물선의 꼭짓점 : (0, a)

(3) F₂ 의 좌표 : (-1, 0)

(4) F₁F₂ = 3, PQ = 1 이므로, F₁P = k 라 하면, QF₂ = 2 - k

(5) 문제에서 구하는것 : a 와 p

그러면, 즉시 아래와 같은 빨간색 직각삼각형을 이용하는 피타고라스 정리가 보입니다.

따라서,

a^2+(1+p)^2=3^2

입니다. 즉, a 와 p 의 관계식이 하나 나왔습니다. 이제 관계식 하나만 더 찾으면 되는데, PQ = 1 조건을 아직 사용하지 않았으니 그걸 쓰면 되겠죠. 그래서 아래와 같은 피타를 하나 더 생각합니다.

즉, PQ = 1 조건을 쓰기 위해 아래와 같은 파란색 직각삼각형을 사용할 생각입니다.

빗변의 길이가 1 이고, 빨간색 직각삼각형과 파란색 직각삼각형은 3 : 1 닮음입니다. (왜냐하면, 빗변의 길이가 각각 3, 1 이니까요.)

이제, 파란색 직각삼각형의 사이즈를 하나 더 구해야 합니다. 아래 그림과 같이 두 포물선의 준선을 점선으로 표시하고, 네 점 R, S, T, U 를 잡겠습니다.

이제 준선의 성질을 써야 하는데 그림이 작으니 자세히 봐야 합니다.

(1) 위쪽 포물선에서 선분 길이 기준으로 SP = k 이고, SR = p 입니다. 따라서, RP = k - p 이죠.

(2) 마찬가지 방법으로 아래쪽 포물선에서 QU = 2-k 이고, TU = 1 입니다. 따라서,

QT=QU-TU=(2-k)-1=1-k

가 됩니다.

그러므로 작은 직각삼각형의 밑변의 길이는 QT+RP = (1-k) + (k-p) = 1-p 가 됩니다.

이제, 아래 그림과 같은 직각삼각형의 닮음이 됩니다.

닮음비가 1:3 이니

3(1-p)=1+p\quad \Leftrightarrow \quad p=\frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad \textcolor{#ff0010}{{p^2=\frac{1}{4}}}

이고, p 를 2의 피타 식

a^2+(1+p)^2=3^2

에 대입하면,

{\textcolor{#ff0010}{a^2=\frac{27}{4}}}

이 됩니다. 따라서, 답은

a^2+p^2=\frac{27}{4}+\frac{1}{4}=7

이 답이 됩니다.

이렇듯 중학교 시절에 배우는 피타고라스 정리와 닮음은 언제나 중요합니다~

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