2020학년도 수능 수학 나형 21번에 숨겨진 규칙 (feat. 이진트리)

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-07-07 · 고3 수학

이 문제는 학생들이 규칙성을 찾는것을 힘들어 합니다. 그렇지만 알고나면 매우 쉬워서 거의 암산 가능합니다.

문제는 아래와 같습니다.

2020학년도 수능 나형 21번

2020학년도 수능 나형 21번 문제입니다.

조건이 짝수항 a_2n 과 홀수항 a_2n+1 로 나뉘어 주어져 있고, 63번째 항까지의 합을 구하라고 하네요. 얼핏 보면 63개 항을 전부 구해야 할 것 같지만, 항을 일일이 구할 필요는 없습니다.

참고로, 널리 알려진 풀이는 다음과 같습니다.

깔끔합니다만, 좀 더 시스템적으로 풀어보겠습니다.

1. 먼저 a₁ 을 역추적

합을 구하기 전에, 출발점이 되는 a₁ 부터 찾습니다. 주어진 값이 a₂₀=1 이므로, 인덱스를 절반씩 접어가며 거슬러 올라갑니다.

a_{20}=a_{10}-1\ \Rightarrow \ a_{10}=2

a_{10}=a_5-1\ \Rightarrow \ a_5=3

a_5=2a_2+1\ \Rightarrow \ a_2=1

a_2=a_1-1\ \Rightarrow \ a_1=2

따라서 a₁=2 입니다.

이 문제에서 눈치채야 할 것은 주어진 다음항을 만들어내는 두 조건

a_{2n}=a_n-1

a_{2n+1}=2a_n+1

을 보고 "더하면 뭔가 좋아지겠는데?" 라는 느낌입니다.

즉, (가), (나) 를 변끼리 더해보면

a_{2n}+a_{2n+1}=(a_n-1)+(2a_n+1)=\textcolor{#ff0010}{3a_n}

심하게 깔끔한것이 뭔가 딱 느낌이 옵니다. 의심을 해야 하는 포인트 입니다.

이제 수열을 아래와 같이 트리 구조로 써봅니다. 주어진 점화식의 생성원리를 반영하면 아래 그림과 같이 진행되고, 이런 그림을 이진트리 라고 합니다.

a₁ 을 꼭대기(루트)에 놓고, a_n 아래에 왼쪽 자식 a₂ₙ, 오른쪽 자식 a₂ₙ₊₁ 을 놓습니다.

앞의 2 에서 확인한 대로, 하나의 부모항 a_n 으로 부터 나온 두 자녀 항의 합은 3a_n 입니다. 그러므로 한 층 전체의 합이, 바로 윗층 전체 합의 정확히 3배가 됩니다.

각 층의 합을 S₀, S₁, S₂, ⋯ 라 하면,

맨 윗층은 S₀ = a₁ = 2 이고, 한 층 내려갈 때마다 3배씩 커지므로, S₀, S₁, S₂, ⋯ 는 첫째항 2, 공비 3 인 등비수열입니다.

그런데 합을 구하는 범위를 출제자가 하필 63 으로 줬으니 63 = 2⁶ − 1 이라서, 트리가 6개 층(S₀ 부터 S₅ 까지)으로 빈틈없이 딱 채워집니다.

\sum _{n=1}^{63}a_n=S_0+S_1+\cdots +S_5=\frac{2(3^6-1)}{3-1}=3^6-1=\textcolor{#ff0010}{728}

따라서 답은 728, ④번입니다.

이렇게 풀면, 63개의 항 중에 실제로 필요해서 계산한것은 a₁ 하나뿐입니다.

자주 출제되는 점화식은 아니지만, 이 문제처럼 짝수항 a₂ₙ 과 홀수항 a₂ₙ₊₁ 이 모두 a_n 으로 정의되어 있으면, 언제든 이진트리로 나타낼 수 있고, 트리 그림으로 나타내면 알기 쉽습니다.

이 문제는 규칙만 찾으면 순식간에 풀리지만, 그 규칙을 시험장에서 스스로 알아채기가 쉽지 않습니다. 두 조건을 더해볼 생각과 이진트리로 인식하는 부분은 한 번쯤 봐두면 활용 능력이 생깁니다.

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