센텀중 3학년 기말고사 마름모 문제 풀이 해설 (2026 센텀중 3학년 1학기 수학 기말고사 14번)

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-07-08 · 중3 수학

이번 시험은 크게 어려운 문제는 없었다고 합니다. 그 중에 여기서는 2차함수와 마름모가 들어 있는 문제를 풀어 보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

2026 센텀중 3학년 1학기 수학 기말고사 14번

미지수를 원칙대로 잡고 실수없이 풀면 꾸역꾸역 잘 풀어 집니다만,

여기서는 불편한 계산을 줄이기 위해 평행이동을 조금 생각해보겠습니다.

1. a 계산

B(-4, 0), C(2, 0) 이므로 변 BC 의 길이는 6 입니다.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로, 나머지 세 변도 전부 6 이겠죠.

그리고, 사각형 ABCD 에서 변 DA 와 변 BC 는 마주 보는 변이고, 마름모는 평행사변형이므로 두 점 A, D 는 높이 4 에서 가로로 6 만큼 떨어진 두 점입니다.

x 축 방향의 평행이동은 a 를 바꾸지 않으므로 a 는 꼭짓점이 어디에 있든 똑같고, 가장 계산하기 편한 위치에서 a 를 계산하면 될겁니다.

그러면 가장 계산이 편한 위치가 어디일까요?

위의 그림과 같이 이차함수의 꼭짓점을 BC 의 중점인 (-1, 0) 에 놓아 보면

A(-4, 4), D(2, 4) 가 되고, 사각형 ABCD 는 가로 6, 세로 4 인 직사각형이 됩니다.

이 때, 점 A 를 대입하면

4=a\left(-4-(-1)\right)^2=9a

\therefore \ \textcolor{#ff0010}{a=\frac{4}{9}}

이렇게 a 가 먼저 구해져 나옵니다.

이제, 직사각형이 마름모가 아니므로 포물선을 왼쪽으로 t 만큼 밀어 보겠습니다.

이 때, 포물선 위에 있는 윗변 AD 만 왼쪽으로 미끄러지고, 밑변 BC 는 x 축 위에 그대로 있습니다.

AD 의 길이 6 과 AD ∥ BC 는 그대로 유지되므로, 미는 동안 사각형 ABCD 는 항상 평행사변형입니다. 그 중에 AB=6 이 되는 순간 마름모가 됩니다. 즉, 직사각형이 옆으로 찌그러지면서 마름모가 되는 겁니다.

이제 t 를 구합니다. 점 A 에서 x 축에 내린 수선의 발을 H 라 하면, 직각삼각형 ABH 에서 AH=4, AB=6 이므로 피타고라스 정리에 의해

\overline {\text{BH}}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}

그런데 처음에 A 가 B 의 바로 위에 있었으므로, BH 의 길이가 곧 왼쪽으로 밀어낸 거리 t 입니다.

t=2\sqrt{5}

따라서 꼭짓점은 (-1, 0) 에서 왼쪽으로 2√5 만큼 이동한 자리이고,

\textcolor{#ff0010}{p=-1-2\sqrt{5}}

가 됩니다.

이제 곱하기만 하면 됩니다.

ap=\frac{4}{9}\left(-1-2\sqrt{5}\right)=-\frac{4}{9}-\frac{8}{9}\sqrt{5}

이므로 m=-4/9, n=-8/9 이고,

m+n=-\frac{12}{9}=\textcolor{#ff0010}{-\frac{4}{3}}

답은 ④번입니다.

이차함수를 오른쪽으로 2√5 만큼 밀어도 AB=6 이 되어서 마름모가 됩니다.

이 경우에는 p=-1+2√5 이고,

ap=-\frac{4}{9}+\frac{8}{9}\sqrt{5}\quad \Rightarrow \quad m+n=\frac{4}{9}

가 나옵니다. 그런데, 이 값은 선지에 없으므로 신경안써도 됩니다.

참고로, 윗변만 옆으로 미끄러뜨리는 이런 변형을 전단(shear) 이라고 합니다. 훗날 기하나 선형대수에서 다시 만나게 되는 개념인데, 넓이가 보존된다는 좋은 성질이 있습니다.

이 센텀중 3학년 1학기 기말고사의 전체 해설은

필요하신 분은 참고해주십시오 https://rtmath.kr

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