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센텀중 2학년 기말고사, 삼각형을 이루지 못하는 세 직선 문제 해설 (2026 센텀중 2학년 1학기 수학 기말고사 12번)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중2 수학

오늘은 세 직선이 삼각형을 못 만드는 경우에 대해 살펴보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

센텀중 2학년 기말고사, 삼각형을 이루지 못하는 세 직선 문제 해설 (2026 센텀중 2학년 1학기 수학 기말고사 12번) — 그림 1

2026 센텀중 2학년 1학기 수학 기말고사 12번

1. 세 직선이 삼각형을 이루지 못하는 경우

MECE(Mutually Exclusive, Collectively Exhaustive) 하게 아래 네 가지입니다.

(A) 세 직선 모두 평행 : 세 직선의 기울기가 전부 같음

(B) 정확히 두 직선만 평행 : 세 직선 중 한 쌍만 기울기가 같음 (3가지 조합 가능)

(C) 세 직선이 한 점에서, 공점선 : 평행한 쌍 없이, 세 직선이 모두 한 점을 지남

(D) 두 직선이 완전히 일치 : 두 직선의 계수가 비례해서 사실상 같은 직선

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2. 문제의 조건으로 간추림

편의상,

l1:x+y=0l₁:\quad x+y=0
l2:x+2y=5l₂:\quad x+2y=5
l3:kx−2y=5l₃:\quad kx-2y=5

라 하겠습니다.

이 문제에서는 두 개의 직선 l₁, l₂ 에 대해서는 정보를 완전히 다 준 상태이므로, 그 두 직선을 기준으로 분류하면 케이스가 줄어듭니다.

즉, l₁: x+y=0 은 기울기가 -1 이고, l₂: x+2y=5 는 기울기가 -1/2 이라서 기울기가 다르므로 l₁ 과 l₂ 는 평행하지 않고 한 점에서 만납니다. 따라서,

(A) 세 직선 모두 평행 → 이 경우는 해당이 없어지고,

(D) 두 직선이 완전히 일치 → l₁ 의 상수항은 0, l₂ 와 l₃ 의 상수항은 0 이 아니므로, l₁ 은 l₂, l₃ 와 절대 같은 직선이 될 수 없습니다. 그래서 이 케이스도 배제됩니다.

그러면 이제, (B)의 일부와 (C) 뿐입니다.

(B) 에서도 l₁ // l₂ 는 불가능하다고 이미 확인했으니, 남는 조합은 l₁ // l₃, l₂ // l₃ 이렇게 두 가지뿐입니다.

그리고, 여기에 (C) 공점선까지 해서 딱 3가지만 확인하면 됩니다.

3. 남은 3가지 계산

각 직선을 y=ax+b 꼴로 정리하면,

l1: y=−x,l2: y=−12x+52,l3: y=k2x−52l_1:\ y=-x,\quad l_2:\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2},\quad l_3:\ y=\frac{k}{2}x-\frac{5}{2}

(i) l₁ // l₃

k2=−1 ⟹ k=−2\frac{k}{2}=-1\ \Longrightarrow \ k=-2

(ii) l₂ // l₃

k2=−12 ⟹ k=−1\frac{k}{2}=-\frac{1}{2}\ \Longrightarrow \ k=-1

(iii) 공점선 (l₁, l₂ 의 교점을 l₃ 가 지남)

l₁: y=-x 를 l₂ 에 대입하면

x+2(−x)=5 ⟹ x=−5, y=5x+2(-x)=5\ \Longrightarrow \ x=-5,\ y=5

l₃ 가 이 점 (-5, 5) 를 지나야 하므로,

k(−5)−2(5)=5 ⟹ −5k=15 ⟹ k=−3k(-5)-2(5)=5\ \Longrightarrow \ -5k=15\ \Longrightarrow \ k=-3

세 값을 더하면,

−2+(−1)+(−3)=−6\textcolor{#ff0010}{-2+(-1)+(-3)=-6}

답은 ①번 -6 입니다.

4. 검증

k=-2 일 때, l₃: -2x-2y=5, 즉 x+y=-5/2 → l₁ 과 평행

- k=-1 일 때, l₃: -x-2y=5, 즉 x+2y=-5 → l₂ 와 평행

- k=-3 일 때, l₃: -3x-2y=5 에 (-5, 5) 대입하면 15-10=5 → 성립

5. 공점선 처리의 다른 방법 (1)

중학교 과정에서는 앞의 3 처럼 교점 좌표를 직접 구해서 대입해서 계산하면 되구요,

고등학교 과정을 배운 학생이라면, 교점 좌표를 구할 필요가 없습니다.

l₁, l₂ 의 교점을 지나는 모든 직선은 아래와 같이 한 번에 매개화할 수 있고,

(단, 이 때 l₂ 자기 자신은 t → ∞ 극한에 해당하는 경우라 별도로 확인해야 합니다.)

(x+y)+t(x+2y−5)=0(x+y)+t(x+2y-5)=0

t 에 대해 정리하면,

(1+t)x+(1+2t)y−5t=0(1+t)x+(1+2t)y-5t=0

l₃: kx-2y-5=0 이 이 다발 중 하나와 같은 직선이 되려면, 계수의 비가 모두 같아야 합니다.

1+tk=1+2t−2=−5t−5\frac{1+t}{k}=\frac{1+2t}{-2}=\frac{-5t}{-5}

세 번째 비는 항상 t 와 같으므로, 가운데 등식만 풀면 됩니다.

1+2t−2=t ⟹ 1+2t=−2t ⟹ t=−14\frac{1+2t}{-2}=t\ \Longrightarrow \ 1+2t=-2t\ \Longrightarrow \ t=-\frac{1}{4}

이제 첫 번째 비에서 k 를 구하면,

k=1+tt=1−14−14=−3k=\frac{1+t}{t}=\frac{1-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}}=\textcolor{#ff0010}{-3}

이 되죠.

이 문제처럼 교점이 깔끔한 정수로 나오는 경우엔 3의 방법보다 특별히 나아보이지는 않지만 계수가 지저분하거나 교점이 분수로 나오는 문제를 만나면 이 매개화가 계산이 간편합니다.

이 내용은 고1 과정에서 모두 잘 배웠을텐데, 배웠으면 써야할 자리에서는 써먹어야겠죠.

6. 공점선 처리의 다른 방법 (2)

관심있으신 분들을 위해서 공점선의 대수적 조건을 한 번 더 생각해보겠습니다.

앞에서 공선점 조건 (iii) 은 l₁, l₂ 의 교점을 직접 구해서 l₃ 에 대입하는 방식으로 풀었습니다. 그런데 세 직선을

Aix+Biy+Ci=0A_ix+B_iy+C_i=0

꼴로 맞춰두면, 세 직선이 한 점에서 만날 조건을 계수로 이루어진 3×3 행렬식이 0이 되는 것으로 한 번에 표현할 수 있습니다. 즉,

l1: x+y+0=0,l2: x+2y−5=0,l3: kx−2y−5=0l_1:\ x+y+0=0,\quad l_2:\ x+2y-5=0,\quad l_3:\ kx-2y-5=0

에서,

det⁡(11012−5k−2−5)=0\det \begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&-5\\k&-2&-5\end{pmatrix}=0

여인수 전개로 계산하면,

1⋅{2(−5)−(−5)(−2)}−1⋅{1(−5)−(−5)k}+0=−15−5k=01\cdot \left\{2(-5)-(-5)(-2)\right\}-1\cdot \left\{1(-5)-(-5)k\right\}+0=-15-5k=0
∴ k=−3\therefore \ k=-3

이렇게 하면 교점을 직접 구하지 않고 공점선 조건 (iii) 만 바로 뽑아낼 수 있습니다.

그렇지만 아쉽게도 행렬식은 (i), (ii) 의 평행 조건은 잡아내지 못합니다. 즉, k=-2, k=-1 을 넣어도 이 행렬식은 0이 되지 않습니다.

왜 그럴까요? 이건 사영기하의 무한원점(point at infinity) 개념과 관계가 있습니다. 사영기하에서는 평행한 두 직선도 무한원점이라는 한 점에서 만난다고 봅니다. 즉, 두 직선만 평행하고 나머지 한 직선이 이를 가로지르는 상황도, 사영기하의 시선으로 보면 '무한원점 하나 + 유한점 두 개' 를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 여전히 존재하는 셈입니다. 그래서 이 행렬식은 "완전히 한 점(무한원점이든 유한점이든)에서 셋이 만나는 경우"만 잡아내고, "딱 두 직선만 평행한 경우"는 잡아낼 수가 없어서 따로 확인해야 하는 겁니다.

즉, 이 문제에서 케이스를 (i), (ii), (iii) 세 가지로 나눠서 각각 확인한 것이, 사실 유클리드 기하와 사영 기하의 경계를 나눠서 처리한 것과 같은 셈입니다.

이 센텀중 2학년 1학기 기말고사의 전체 해설은

저의 아카이브 사이트에 올려놨으니

센텀중 2학년 기말고사, 삼각형을 이루지 못하는 세 직선 문제 해설 (2026 센텀중 2학년 1학기 수학 기말고사 12번) — 그림 6

필요하신 분은 참고해주십시오 https://rtmath.kr

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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.

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