알티수학 쌤 수학 노트 센텀 알티수학 학원 · 부산 센텀 · 해운대

2019학년도 6월 모평 가형 30번, 부분적분 없이 곱의 미분법으로 푸는 법 (feat. 아마도 모범답안)

글·그림 알티수학 쌤 · · 고3 수학

이 문제는 복잡한 부분적분 계산과 텔레스코핑이 결합된 문제인데, 주어진 숫자도 더럽습니다ㅠ. 2019 학년도 문제라서 출제된 지는 좀 되었지만 지금도 대표적인 적분단원 킬러문제로 기출문제집들에 수록되어 있고, 최근 학교 내신들에서도 비슷한 형태가 종종 출제되고 있습니다. 여기서는 성가신 부분적분을 회피해서 간명하게 푸는 법을 알려드리겠습니다.

글,그림 - 알티수학 쌤＠센텀 알티수학 학원

2019학년도 6월 모의평가 가형 30번 문제 원문

2019학년도 6월 수학 모의고사 가형 30번

0. g(t) 와 f(t) 의 관계 찾기

먼저 문제의 뜻대로 g(t) 를 f(t) 와 엮어봐야겠죠?

곡선 y = f(x) 위의 점 (t, f(t)) 에서의 접선은

y−f(t)=f′(t)(x−t)y-f(t)=f'(t)(x-t)

이고, 여기에 x = 0 을 넣으면 y절편이 나옵니다. 따라서,

g(t)=f(t)−tf′(t)g(t)=f(t)-tf'(t)

와 같이 g(t) 와 f(t) 의 관계식을 찾을 수 있습니다.

문제에서 주어진 g(t) 의 항등식은 다음과 같이 고쳐씁니다.

g(t+1)−g(t)=2t1+t2g(t+1)-g(t)=\frac{2t}{1+t^2}

자세히 보면, g 값의 차이를 줬는데, 어느 한 점에서의 g 값이 문제에서 주어져 있지 않기 때문에 이 관계식으로부터 g(t) 를 바로 구하는 것은 아닐거라는 생각이 들고, 무엇보다 우변의 형태가 "양변에 적분을 해달라" 라는 사인을 보내고 있네요.

그래서, "이 g(t+1) - g(t) 에 관한 항등식을 적분해서 문제에서 요구하는 f 의 정적분값을 구하는 문제인가보다.." 라는 생각이 듭니다.

1. g(x) = f(x) - xf'(x) 를 어떻게 요리할것인가

g(x) 를 어떻게든 적분해야 하는데, y 절편 관계식에서 xf'(x) 는 곱의 미분 느낌이 납니다. 즉,

(xf(x))′=f(x)+xf′(x)(xf(x))'=f(x)+xf'(x)

이죠. 따라서 다음과 같이 바꿔쓰면 대박입니다.

g(x)=f(x)−xf′(x)=2f(x)−(xf(x))′\textcolor{#ff0010}{g(x)=f(x)-xf'(x)=2f(x)-(xf(x))'}

즉, 이렇게 바꿔쓰면 적분하기에 안성맞춤인데다, 문제에서 요구하는 답의 형태가 거의 갖춰져 버립니다.

∫abg(x)dx=2∫abf(x)dx−[xf(x)]ab\int _a^bg(x)dx=2\int _a^bf(x)dx-\left[xf(x)\right]_a^b

이고, 여기서 a = -4, b = 4 를 넣는다 생각하면 거의 다 맞아떨어지는 느낌이죠.

2. 이제 단순 계산

구하는 값을 T 라 하겠습니다.

T=2{f(4)+f(−4)}−∫−44f(x)dxT=2\left\{{f(4)+f(-4)}\right\}-\int _{-4}^4f(x)dx

인데,

앞의 1의 식에 구간은 [-4, 4] 를 적용해보면,

∫−44g(x)dx=2∫−44f(x)dx−{4f(4)+4f(−4)}=−2T\int _{-4}^4g(x)dx=2\int _{-4}^4f(x)dx-\left\{{4f(4)+4f(-4)}\right\}=-2T

이므로,

T=−12∫−44g(x)dxT=-\frac{1}{2}\int _{-4}^4g(x)dx

가 됩니다. 이제 이것만 계산하면 끝납니다.

이 계산은 정수 k 에 대해

Ik=∫kk+1g(x)dxI_k=\int _k^{k+1}g(x)dx

라 하고,

T=−12∑k=−43IkT=-\frac{1}{2}\sum _{k=-4}^3I_k

를 계산하겠습니다.

3. g(x+1) - g(x) 적분 계산

정수 k 에 대해 [k-1, k] 에서 적분하면,

∫k−1k{g(x+1)−g(x)}dx=∫k−1k2x1+x2dx\int _{k-1}^k\left\{{g(x+1)-g(x)}\right\}dx=\int _{k-1}^k\frac{2x}{1+x^2}dx
=[ln⁡(1+x2)]k−1k=ln⁡(1+k2)−ln⁡(1+(k−1)2)\qquad =\left[\ln (1+x^2)\right]_{k-1}^k=\ln (1+k^2)-\ln (1+(k-1)^2)

이고,

좌변의 앞쪽 항은 구간을 오른쪽으로 1만큼 옮긴 것과 같으므로

∫k−1kg(x+1)dx=∫kk+1g(x)dx=Ik\int _{k-1}^kg(x+1)dx=\int _k^{k+1}g(x)dx=I_k

이므로, 정리하면 아래와 같습니다.

Ik−Ik−1=ln⁡(1+k2)−ln⁡(1+(k−1)2)I_k-I_{k-1}=\ln (1+k^2)-\ln (1+(k-1)^2)

이항하면,

Ik−ln⁡(1+k2)=Ik−1−ln⁡(1+(k−1)2)I_k-\ln (1+k^2)=I_{k-1}-\ln (1+(k-1)^2)
 =C\qquad \qquad \quad \quad \ =C

라 둘 수 있죠. 따라서,

Ik=ln⁡(1+k2)+CI_k=\ln (1+k^2)+C

입니다.

4. C 값 계산

C 를 구하려면 k = 0 일 때를 보면 됩니다. ln(1+0) = 0 이니까요. 그리고 그 값은 1의 식에 a = 0, b = 1 을 넣으면 바로 나옵니다.

I0=∫01g(x)dx=2∫01f(x)dx−[xf(x)]01I_0=\int _0^1g(x)dx=2\int _0^1f(x)dx-\left[xf(x)\right]_0^1
   =2∫01f(x)dx−f(1)\ \ \ =2\int _0^1f(x)dx-f(1)

주어진 값을 넣으면,

C=2(−ln⁡104)−(4+ln⁡178)C=2\left(-\frac{\ln 10}{4}\right)-\left(4+\frac{\ln 17}{8}\right)
   =−4−ln⁡178−ln⁡102\ \ \ =-4-\frac{\ln 17}{8}-\frac{\ln 10}{2}

이 됩니다.

5. 마지막 계산

이제 그냥 단순 계산 하면 됩니다.

T=−12∫−44g(x)dx=−12∑k=−43IkT=-\frac{1}{2}\int _{-4}^4g(x)dx=-\frac{1}{2}\sum _{k=-4}^3I_k
  =−12{∑k=−43ln⁡(1+k2)+8C}\ \ =-\frac{1}{2}\left\{{\sum _{k=-4}^3\ln (1+k^2)+8C}\right\}

로그 항부터 계산합니다.

∑k=−43ln⁡(1+k2)=ln⁡17+ln⁡10+ln⁡5+ln⁡2+0+ln⁡2+ln⁡5+ln⁡10\sum _{k=-4}^3\ln (1+k^2)=\ln 17+\ln 10+\ln 5+\ln 2+0+\ln 2+\ln 5+\ln 10
=ln⁡17+2ln⁡10+2(ln⁡5+ln⁡2)\qquad \qquad =\ln 17+2\ln 10+2(\ln 5+\ln 2)
=ln⁡17+4ln⁡10\qquad \qquad =\ln 17+4\ln 10

그리고 8C 는

8C=−32−ln⁡17−4ln⁡108C=-32-\ln 17-4\ln 10

두 값을 더하면

∫−44g(x)dx=(ln⁡17+4ln⁡10)+(−32−ln⁡17−4ln⁡10)=−32\int _{-4}^4g(x)dx=(\ln 17+4\ln 10)+(-32-\ln 17-4\ln 10)=-32

따라서,

T=−12×(−32)=16T=-\frac{1}{2}\times (-32)=\textcolor{#ff0010}{16}

이 답이 됩니다.

상세히 쓰느라 길어보이지만, 이대로 실제로 풀면 몇 분 걸리지 않습니다.

6. 기출 교재들에 수록된 풀이

대부분 다음과 같은 h(t) 를 정의하고 시작합니다. 떠올리기 쉽지 않지만 매우 좋은 아이디어입니다.

h(t)=∫tt+1g(x)dxh(t)=\int _t^{t+1}g(x)dx

정적분으로 정의된 함수라서

미분하면 h'(t) = g(t+1) - g(t) 가 되고, 조건식이 바로 이 형태로 되어 있으니 잘 들어맞습니다.

이어서 h(t) 를 f 로 정리해야 하는데, 여기서 xf'(x) 의 정적분에 부분적분을 씁니다.

h(t)=2∫tt+1f(x)dx−{(t+1)f(t+1)−tf(t)}h(t)=2\int _t^{t+1}f(x)dx-\left\{{(t+1)f(t+1)-tf(t)}\right\}

그리고 h'(t) 를 적분해 h(t) = ln(t²+1) + h(0) 을 얻은 뒤, 두 식을 연립해 f 의 한 칸 정적분에 대해 정리하고, t = -4 부터 3 까지 여덟 번 대입해 더하면 같은 답 16 이 잘 나옵니다.

다만 시험장 관점에서 이 풀이가 좀 더 어렵습니다. 끝까지 긴장을 놓지 않고, 중요한 연결고리들을 빈틈없이 채워야 맞는 답을 구할 수 있습니다.

그 과정에서 아래와 같이 복잡한 수식을 8번 적어서 끌고가야 하니 계산 실수를 조심해야 합니다.

∫tt+1f(x) dx=12[ln⁡(t2+1)−(ln⁡178+ln⁡102+4)+{(t+1)f(t+1)−tf(t)}]\int _t^{t+1}f(x)\, dx=\frac{1}{2}\left[\ln \left(t^2+1\right)-\left(\frac{\ln 17}{8}+\frac{\ln 10}{2}+4\right)+\left\{(t+1)f(t+1)-tf(t)\right\}\right]

그에 반해 제가 알려드린 풀이는 2에서 일찌감치 방향이 고정되고 이후에 외길수순으로 정해지므로 푸는 과정동안 마음이 편안해집니다. 그리고 부분적분보다는 곱의 미분이 훨씬 다루기 쉽구요.

7. 최근 내신 기출 유사문제

이 문제의 아이디어를 변형한 문제는 내신 기출에서도 종종 보입니다. 예를 들면,

적분은 오히려 쉽죠, 해강고 2학년 2학기 미적분 2024 기말고사 18번 리뷰 (feat. 부정적분 단순계산)

이 문제도 조건식이 (2 + cos πx){g(x+1) - g(x)} = -π sin πx 로 주어집니다. 우변이 분모의 도함수라 양변을 적분하는 구조가 똑같고, g 를 처음부터 (xf(x))' 로 줘서 위 1의 변형이 주어진 상태로 시작하게 됩니다.

썸네일 — 문제가 준 조건식 g(t+1) - g(t) = 2t/1+t의 제곱

#아마도모범답안 #2019년6월모평 #수학가형30번 #미적분 #접선의방정식 #곱의미분법 #부분적분 #정적분 #수능수학

같은 분류의 글 — 고3 수학