학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안)

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-08-04 · 고1 수학

이 문제는 여러 책에 실려 있는 오래된 문제입니다만 해설지에 있는 풀이들이 쉽지 않아서 학생들이 힘들어합니다. 문제가 어려우니 풀이도 어렵습니다. 여기서는 중1 합동을 써서 간단하게 푸는 과정을 알려드리겠습니다.

0. 중1 복습 : 합동

문제 본론으로 들어가기 전에, 중1 시절 복습을 해봅시다.

학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안) — 그림 1

학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안) — 그림 2

직각삼각형의 합동을 찾으면 간단합니다.

즉, 점 G 를 지나 AB 에 평행한 직선을 그어 AD 와 만나는 점을 Q 라 하면, 사각형 ABGQ 가 직사각형이므로 GQ = AB = 1 = AD 이고, ∠GQH = ∠ADE = 90° 입니다.

학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안) — 그림 3

그리고, AE 와 GH 의 교점을 F 라 하면, 직각삼각형 AFH 에서

\angle DAE+\angle AHF=90°

이고, 직각삼각형 GQH 에서

\angle QGH+\angle QHG=90°

입니다. 그런데 Q 가 선분 HA 위에 있으니 ∠AHF 와 ∠QHG 는 같은 각이죠. 따라서

\angle DAE=\angle QGH

이므로, 두 각과 끼인 변이 같으므로 △ADE 와 △GQH 는 ASA 합동이고, 그래서 AE = GH 입니다.

혹, 중3 수학이 기억이 나면, DEFH 가 원에 내접하는 사각형이므로, (마주보는 두 각이 각각 90도 이므로,) 내대각으로 ∠AED = ∠GHQ 를 쉽게 알 수 있습니다.

1. 오늘의 문제

문제는 아래와 같습니다.

학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안) — 그림 4

EFGH = ABGH 이므로 ABGH 의 최솟값을 구하면 됩니다.

2. 독립변수를 뭘로 잡을까

이 문제는 독립변수를 뭘로 잡을까에 따라 풀이가 다양하게 가능해지는데, 풀이가 간단해질 수도 있고, 반대로 엄청 복잡해질 수도 있습니다.

좀 더 자세히 보면, 접은 상태를 결정하는 것이 몇 개인가를 확인해야 합니다. 이 문제의 경우 하나입니다. 점 A 가 어디로 가는지, 즉 점 E 의 위치만 정하면 접는 선도 F 도 G 도 H 도 전부 결정됩니다. 이것은 자유도가 1 이라는 뜻이고, 그러면 미지수 문자도 하나만 잡으면 됩니다.

저는 여기서,

DE=x\quad (0\le x\le 1)

로 잡겠습니다.

이처럼, 독립 변수를 고를 때 신경써야 할 것은 다음과 같습니다.

① 자유도와 문자 개수가 같은가

② 나머지 길이들이 그 문자로 표현하기 좋은가

③ 최종적으로 다루기 좋은 식이 나오는가

그런 관점에서 DE 는 적당히 괜찮아 보입니다.

3. 풀이

목표는 ABGH 의 넓이를 x 로 나타내는 것입니다.

|ABGH|=\frac{1}{2}(AH+BG)\times AB=\frac{AH+BG}{2}

이므로, AH, BG 만 x 로 표현하면 되겠네요..

① 상식적으로 접는 선 GH 는 AE 와 BF 의 수직이등분선이고, HA = HE, GA = GE, GB = GF 등은 쉽게 알 수 있습니다.

② AH 계산

HA = HE 이므로 HE = AH 이고 HD = 1 - AH 이므로 직각삼각형 HDE 에서 피타 한번 때리면

(1-AH)^2+x^2=AH^2

이고, 정리하면,

AH=\frac{x^2+1}{2}

가 나옵니다.

③ BG 계산

여기서 앞의 0 에서 복습한 문제가 필요합니다.

그림과 같이 G 에서 AD 에 내린 수선의 발을 Q 라 합니다.

학생들이 힘들어하는 정사각형 접기 문제 넓이의 최솟값, 알티쌤 최간단 풀이 (feat. 아마도 모범답안) — 그림 5

①에서 AE 와 GH 가 수직인걸 확인했으니 0 의 결과에서 △ADE ≡ △GQH (ASA) 임을 쉽게 알 수 있죠. 즉 QH = DE = x 입니다.

사각형 ABGQ 가 직사각형이므로 BG = AQ 이고, Q 는 H 와 A 사이에 있으므로

BG=AQ=AH-QH=\frac{x^2+1}{2}-x=\frac{(1-x)^2}{2}

가 됩니다.

④ 넓이의 최솟값

사다리꼴 ABGH 에서 평행한 두 변이 AH 와 BG 이고 높이가 AB = 1 이므로,

S(x)=\frac{1}{2}(AH+BG)\times AB=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+1}{2}+\frac{(1-x)^2}{2}\right)

이고, 정리하면

S(x)=\frac{x^2-x+1}{2}=\frac{1}{2}\left\{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}

가 됩니다.

정의역이 0 ≤ x ≤ 1 인데 꼭짓점 x = 1/2 이 이 범위 안에 들어 있으니, 최솟값은

{\textcolor{#ff5f45}{{S_{\min }=S\left({\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{8}}}}

이 됩니다.

4. 문제집들에 있는 풀이들

참고로, 이 문제가 수록된 문제집들에 실린 풀이들은 아래와 같습니다.

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절대등급 공통수학1

직각삼각형 △EGF 에서 피타고라스를 쓰고 있는데, 쉽지 않습니다. 여기서도 독립변수는 DE 를 잡았네요.

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절대등급 공통수학1

세 삼각형 DHE, CEI, FGI 의 닮음을 쓰는 풀이인데, 대부분의 고등학교 도형문제는 닮음을 쓰면 문제가 잘 풀리지만,

여기서는 a 를 잡고, 닮음 두쌍을 연결해서 b 로 이어지기 때문에 식이 도리어 복잡해집니다.

5. 독립변수를 각으로 잡으면?

∠DAE 를 θ 로 두는 것도 자유도 1 상황에서 좋은 선택입니다. 계산을 해보면,

DE=\tan \theta ,\quad AH=\frac{1}{2\cos ^2\theta }

이고 넓이는

S(\theta )=\frac{\sec ^2\theta -\tan \theta }{2}

로 표현됩니다.

여기서 최솟값을 찾으려면 미분을 해야 하는데 공통수학1 범위를 벗어나니 이 글에서는 다루지 않겠습니다.

도형이 취향에 맞지 않는 학생은 선행을 넉넉하게 뽑아놓고, 이렇게 진행하는것도 좋은 해결책입니다.

그런데, 조금 관찰력을 발휘하면, tan θ = t 로 치환할 수 있습니다. 그러면,

S=\frac{t^2-t+1}{2}

로 되는데, 앞에서 제가 푼 그 이차함수와 동일합니다.

6. 참고

x = 1/2 이라는건 E 가 변 CD 의 한가운데라는 뜻이고, 그 순간의 길이들을 재보면

AH=HE=\frac{5}{8},\quad HD=\frac{3}{8},\quad DE=\frac{1}{2}=\frac{4}{8}

가 됩니다. 세 변이 3 : 4 : 5 가 나오네요!

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그리고, HD 의 값 3/8 이 우리가 구한 넓이의 최솟값과 같습니다. 그냥 우연입니다만, 답을 기억하기엔 좋습니다.

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